Как рассчитать силу магнита?

Постоянные магниты на основе редкоземельных элементов. Сетевая Академия Мебели

 Расчет магнитной индукции аксиально-намагниченных цилиндрических магнитов с радиусом (r) и длиной (l ), в точке расположенной на расстоянии (d) от повехности, вдоль оси производится по формуле:

Пример:
r=0.5″,l=1″, d=0.25″, B r =12200 Gauss, B=2935.7 Gauss
Расчет методом граничных элементов ( МГЭ), B=2788.7 Gauss

Расчет магнитной индукции для призматических магнитов намагниченных по длине , толщиной (2t), шириной (2w ) и длиной ( l), для точки расположенной на расстоянии (d) от поверхности вдоль магнитной оси производится по формуле:

Пример:
2t=1″, 2w=1″, l=0.5″, d=0.25″, Br=12200, B=2386.5 Gauss
Используя МГЭ, B=2238 Gauss

Расчет магнитной индукции в точке вдоль осей этих геометрий более комплексный. Есть три компонента магнитной индукции, которые должны быть приняты во внимание . но принцип остается тем же. Подобные формулы приемлемы для прямоугольных магнитов. Цилиндрические магниты труднее поддаются расчету, для них рекомендуются компьютерные методы расчета.

При использовании принципа совмещения, могут быть подвергнуты анализу магниты и более сложных геометрических форм. Для примера , мы можем рассчитать магнитную индукцию вдоль оси цилиндрической трубы по формуле:

Вычитая магнитную индукцию внутреннего цилиндра с диаметром (2 ri ) из магнитной индукции цилиндра с внешним диаметром (2r0 ), мы получаем магнитную индукцию трубы ( которая обычно используется в Фарадеевых поворотных устройствах).

Подобная логика может быть приложима и к другим магнитам симметричной формы:

Используя принцип суперпозиции , можно определить магнитную индукцию в промежутке между двумя соосно расположенными магнитами:

Индукция между двумя призмами на расстоянии (d) определяется по формуле B = B 1 + B 2 , где B 2 — индукция от призмы на расстоянии (g-d).

Приближенно, результаты таких расчетов могут быть применимы к магнитам, размещенным в ненасыщенной стальной цепи. Когда используются подобные формулы, обычно исходят из предположения , что распределение индукции в стали соответствует индукции магнита двойной длины. Если большая часть магнитного потока проходит через зазор ( т.е. без потерь в стали), то результат расчета имеет хорошую точность.

Для двух магнитов размещенных на C-образной скобе расчет производится по формуле:

B= B1 + B 2 , где B1 — индукция прямоугольного блока длиной (2l) на расстоянии ( d). B 2 — индукция прямоугольного блока длиной (2l ) на расстоянии ( g-d).

Дальнейшие вариации на эту тему бесконечны. Для большей точности рекомендуются компьютерные расчеты

Расчет магнитных цепей

Эмпирический подход пригоден для анализа цепи со стальным сердечником или другими проницаемыми материалами. Начиная с идеальной цепи не имеющей потерь и сопротивления в стали, этот метод используется для эмпирического определения отношений в точных моделях магнитных цепей.

Рисунок идеальной цепи см. ниже

Используя закон Ампера для цепи, допускаем , что в стали отсутствуют потери магнитодвижущей силы:

где Hm=MMF магнита, lm =длина магнита, Hg = MMF поперек зазора, lg = длина зазора.

Допуская , что весь поток индукции проходит полностью через зазор ( т.е. без потерь) мы можем написать следующее соотношение:

Где Bm — индукция магнита, Am — поперечное сечение магнита, Bg — поток через зазор , Ag — поперечное сечение зазора. Если мы допустим B m и Hm и возьмем их соотношение , то мы получим коэффициент проницаемости (PC).

Проницаемость материала определяется как µ=B/H. В системе CGS проницаемость воздуха равна единице, таким образом Bg=Hg . Тогда соотношение для коэффициента проницаемости :

Коэффициент проницаемости определяется на наклонной линии к началу координат. Пересечение наклонной линии и второго квадранта кривой размагничивания называется операционной точкой , где B и Hm геометрически определены. От Bm, мы можем расчитать индукцию в зазоре , ( Bg):

Этот подсчет является приблизительным , потому что не учитывает потерь индукции или MMF в цепи. Фактор потерь (ó) и фактор сопротивления (f ) определяются эмпирически в соответствии с упомянутыми выше отношениями ( для большей точности) .

Фактор потерь есть соотношение общего магнитного потока к потоку в зазоре. Он определяется проницаемостью, и аналогичен проводимости электрической цепи. A magnetic circuit can usually be broken up into basic leakage paths.

Для каждой потерянной магнитной линии эмпирически определяется формула для магнитной проводимости , которая может быть использована. Обычно используются формулы из книги ( «Electromagnetic Devices » ( Электромагнитные устройства) написанной Herbert C.

Где P t — сумма проницаемости всех потерянных магнитных линий ( включая зазор) цепи, Pg — проницаемость зазора.

Фактор сопротивления (f) считается для потерь MMF в несущих магнитный поток элементах цепи ( т.е. стали) и небольших зазорах между деталями. Этот фактор определяется эмпирически и находится в пределах от 1,1 до 1.5 для большинства цепей. Большие значения относятся к цепям близким к уровню насыщению стали. Фактор сопротивления:

Где Ht — суммарная MMF и H g — MMF поперек зазора

Расчет магнитных сил

Обычно импользуется следующая формула для расчета удерживающей силы магнита :

F=0.577B2A

где B — индукция в килогауссах, A — площадь полюса в квадратных дюймах. Для магнитов, конструкция которых показана ниже используется следующая формула:

F=0.577(B12A1+B2 2A2)

Для простых магнитов отделенных от стальной пластины воздушным промежутком (d), с хорошей точностью для B может быть рассчитано через текущие соотношения.

Для магнита непосредственно соприкасающегося со сталью , могут быть использованы следующие два метода. Если магнит имеет форму подобную диску или пластинке ( малое отношение длина/диаметр) , используется следующая формула:

где Br= остаточная индукция, lm = длина магнита и A=площадь полюса.

Calculate B@d=-l

F=0.577B2A

Примечание . Облегчить эти расчеты можно используя, например, стандартные способы из программы » Excel»  пакета «Windows» или несколько специальных магнитных калькуляторов,  расположенных на сайте фирмы «Dexter » >>>

Для самостоятельного анализа и расчета магнитных систем можно рекомендовать так же очень интересный отечественный комплекс программ для инженерного моделирования электромагнитных, тепловых и механических задач методом конечных элементов ELCUT™ . Дружественный пользовательский интерфейс, простота описания даже самых сложных моделей, широкие аналитические возможности комплекса и высокая степень автоматизации всех операций позволяют разработчику полностью сосредоточиться на своей задаче не отвлекаясь на изучение математических основ вычислительных алгоритмов и особенностей их реализации. Ознакомиться с возможностями комплекса, пройти обучение и получить бесплатно демоверсию программы можно непосредственно на сервере ELCUT Для начала освоения программы требуется всего несколько часов. Достоинством  программы является то, что выдаваемая цветная графика очень удобна для понимания существа, т.е физики  процесса. По вопросам производства и применения современных постоянных магнитов в сети имеется значительное  количество источников на русском и иностранном языках.
Для меня впрочем будет достаточно, если данная заметка вызовет интерес к магнитной технике и у наших рационализаторов — мебельщиков. Каждый может легко сделать поиск в сети и сам.  Для справки — по имеющейся информации, в столь консервативной, до недавнего времени,  штуке — как автомобиль, японцы используют уже до 2-3 килограммов редкоземельных магнитов  А. Абушенко    26 июля 2002 года
1. Перспективные материалы для постоянных магнитов, А.С. Мищенко и А.М. Тишин >>>
2. Информационные ресурсы Магнитного технологического центра группы «Arnold» >>> в том числе «Перечень научно-технической литературы по магнитной тематике» , «Алфавитный перечень фирм, связанных с производством  магнитов» и много др. полезной информации
3. Расчет и проектирование магнитных систем с постоянными магнитами. Р.Р. Арнольд, М. изд. Энергия, 1969 г., скачать можно по ссылке http://www.knigka.info/engine/download.php?id=430 Полимагнит, ОАО,  Москва  >>>
Редмаг, Калуга  >>>
Химсталькомплект, ООО,  г. Озерск, Челябинская обл.  >>>

Group Arnold. The magnetic products group of SPS technologies >>>
Dexter magnetic technologies >>>последнее  изм.  24.07.03

Мир деревянной игрушки — информационная система

Источник: http://www.c-a-m.narod.ru/techno/magnit.html

Слободянюк А.И. Физика 10/13.5

книги

Предыдующая страница

13.5 Взаимодействие постоянных магнитов

Знание формы и намагниченности постоянного магнита позволяет для расчетов заменить его эквивалентной системой электрических токов намагничивания. Такая замена возможна как при расчете характеристик магнитного поля, так и при расчетах сил, действующих на магнит со стороны внешнего поля.

Для примера проведем расчет силы взаимодействия двух постоянных магнитов. Пусть магниты имеют форму тонкого цилиндра, их радиусыобозначим r1 и r2, толщины h1, h2 , оси магнитов совпадают, расстояние между магнитами обозначим z, будем считать, что оно значительно больше размеров магнитов (Рис. 82).

Возникновение силы взаимодействия между магнитами объясняется традиционным способом: один магнит создает магнитное поле, которое воздействует на второй магнит. Для расчета силы взаимодействия мысленно заменим магниты с однородной намагниченностью J1 и J2 круговыми токами, текущими по боковой поверхности цилиндров. Силы этих токов выразим через намагниченности магнитов

\(~I_{1,2} = J_{1,2} h_{1,2}\) , (1)

Для вычисления суммарной силы, действующей на кольцо, необходимо мысленно разбить его на малые элементы IΔl и просуммировать силы Ампера, действующие на каждые такой элемент. Используя правило левой руки, легко показать, что осевая составляющая магнитного поля приводит к появлению сил Ампера, стремящихся растянуть (или сжать) кольцо – векторная сумма этих сил равна нулю.

Наличие радиальной составляющей поля приводит к возникновению сил Ампера, направленных вдоль оси магнитов, то есть к их притяжению или отталкиванию.

Задание для самостоятельной работы.

1. Убедитесь, что магниты притягиваются, если электрические токи текут в одном направлении, и отталкиваются, если токи текут в противоположных направлениях. Свяжите направления токов намагничивания с полюсами магнитов (северным и южным) и убедитесь, что разноименные полюса притягиваются, а одноименные отталкиваются.

Так как рассматриваемая система обладает осевой симметрией, то модуль радиальной составляющей постоянен во всех точках кольцевого тока второго магнита. Следовательно, проекция силы, действующей на второй магнит, с учетом правила левой руки, определяется формулой

\(~F = -I_2 B_r l = -I_2 B_r 2 \pi r_2\) . (2)

Положительное направление силы соответствует притяжению магнитов, положительное направление тока традиционно – против часовой стрелки.

Магнитное поле, создаваемое первым магнитом, эквивалентно полю кругового тока (см. §12.7.1). В рамках сделанных приближений (z >>r,h), осевая составляющая поля определяется формулой

\(~B_z = \frac{\mu_0 p_{m1}}{2 \pi z3}\) , (3)

где \(p_{m1} = I_1 S_1 = J_1 h_1 \pi r2_1 = J_1 V_1\) — магнитный момент первого магнита (V1 — его объем).

Радиальную составляющую поля мы нашли с помощью о магнитном потоке, в месте расположения второго кругового контура она равна (см. §12.12)

\(~B_r = -\frac{r_2}{2} \cdot \frac{\Delta B_z}{\Delta z} = \frac{3 \mu_0 p_{m1}}{4 \pi z4} r_2\) . (4)

Уменьшение осевой составляющей поля приводит к появлению положительной (направленной от оси) составляющей поля.

Важно подчеркнуть, что сила взаимодействия между магнитами определяется скоростью изменения[1] осевой составляющей поля \(~\frac{\Delta B_z}{\Delta z}\), если бы поле, создаваемое первым магнитом было однородным, то сила, действующая на второй магнит, была бы равна нулю.

Этот вывод можно обобщить на случай произвольного контура с током (следовательно, и на любой постоянный магнит). Действительно, сила Ампера, действующая на элемент тока \(~I \Delta \vec l_k\) равна \(~\Delta \vec F_k = I \Delta \vec l_k \times \vec B\), для вычисления силы, действующей на контур необходимо просуммировать этивыражения по всем элементам контура

\(~\vec F = \sum_k \Delta \vec F_k = \sum_k I \Delta \vec l_k \times \vec B = I (\sum_k \Delta \vec l_k) \times \vec B = \vec 0\)

При выводе учтено, что в однородном поле вектор индукции постоянен, поэтому его можно вынести за знак суммы, а сумма элементов контура равна нулю, так как все эти векторы выстроены в замкнутую линию – конец последнего совпадает с началом первого.

Аналогично, сила, действующая на электрический диполь со стороны однородного электрического поля также равна нулю, а в неоднородномполе эта сила пропорциональна скорости изменения поля \(~\frac{\Delta E}{\Delta z}\).

Подставляя выражение для радиальной составляющей поля, получим формулу, для вычисления силы взаимодействия двух магнитов в рассматриваемом случае

\(~F = -I_2 \cdot 2 \pi r_2 \cdot B_r = -I_2 \cdot 2 \pi r_2 \cdot \frac{3 \mu_0 p_{m1}}{4 \pi z4} r_2 = I_2 \cdot \pi r2_2 \cdot \frac{3 \mu_0 p_{m1}}{2 \pi z4} = \frac{3 \mu_0 p_{m1} p_{m2}}{2 \pi z4}\) . (5)

где \(p_{m2} = I_2 S_2 = J_2 h_2 \pi r2_2 = J_2 V_2\) — магнитный момент второго магнита. Так, например для двух одинаковых магнитов с размерами h = r = 1 см с намагниченностью J ≈ 4·105 А , находящихся на расстоянии z = 5 см сила взаимодействия приблизительно равна 0,15 Н.

Обратим внимание, что в формулу (5) в качестве характеристик магнитов входят только их магнитные моменты, поэтому эта формула может применяться для магнитов любой формы, важно только чтобы расстояние между ними превышало их размеры, и их магнитные моменты были параллельны.

Также следует заметить, что сила взаимодействия между магнитами обратно пропорциональна четвертой степени расстояния между ними, что является следствием диполь-дипольного характера взаимодействия (для несуществующих точечных магнитных зарядов эта сила была бы, как обычно, обратно пропорциональна квадрату расстояния).

Примечания

1. ↑ имеется ввиду скорость изменения величины поля в пространстве, а не с течением времени.

Следующая страница

Источник: http://www.physbook.ru/index.php/%D0%A1%D0%BB%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B4%D1%8F%D0%BD%D1%8E%D0%BA_%D0%90.%D0%98._%D0%A4%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_10/13.5

О постоянных магнитах для простого инженера

 Расчет магнитной индукцииаксиально-намагниченных цилиндрических магнитов с радиусом (r)и длиной (l ), в точке расположенной на расстоянии (d)от повехности, вдоль оси производится по формуле:

Пример:
r=0.5″,l=1″, d=0.25″, B r=12200 Gauss, B=2935.7 Gauss
Расчет методом граничных элементов ( МГЭ), B=2788.7Gauss

Расчет магнитной индукции дляпризматическихмагнитов намагниченных по длине , толщиной (2t), шириной (2w ) и длиной ( l), для точкирасположенной на расстоянии (d) от поверхности вдоль магнитнойоси производится по формуле:

Пример:
2t=1″, 2w=1″, l=0.5″, d=0.25″, Br=12200, B=2386.5Gauss
Используя МГЭ, B=2238 Gauss

Расчет магнитной индукции в точкевдоль осейэтих геометрий более комплексный. Есть три компонента магнитнойиндукции, которые должны быть приняты во внимание . но принцип остаетсятем же. Подобные формулы приемлемы для прямоугольных магнитов.Цилиндрические магниты труднее поодаются расчету, для них рекомендуютсякомпьютерные методы расчета.

При использовании принципа совмещения,могутбыть подвергнуты анализу магниты и более сложных геометрических форм.Для примера , мы можем рассчитать магнитную индукцию вдоль осицилиндрической трубы по формуле:

Вычитая магнитную индукциювнутреннегоцилиндра с диаметром (2 ri ) из магнитнойиндукции цилиндра с внешним диаметром (2r0), мы получаем магнитную индукцию трубы ( которая обычно используется вФарадеевых поворотных устройствах).

Подобная логика может быть приложимаи к другиммагнитам симметричной формы:

Используя принцип суперпозиции ,можноопределить магнитную индукцию в промежутке между двумя сооснорасположенными магнитами:

Индукция между двумяпризмамина расстоянии (d) определяется по формуле B = B1 + B2 , где B 2 -индукция от призмы на расстоянии (g-d).

Приближенно, результаты такихрасчетов могутбыть применимы к магнитам, размещенным в ненасыщенной стальной цепи.Когда используются подобные формулы, обычно исходят из предположения ,чтораспределение индукции в стали соответствует индукции магнита двойнойдлины. Если большая часть магнитного потока проходит через зазор ( т.е.без потерьв стали), то результат расчета имеет хорошую точность.

Для двух магнитов размещенных наC-образнойскобе расчет производится по формуле:

B= B1 + B2 , где B1 -индукция прямоугольного блока дляной (2l) на расстоянии( d). B 2 — индукцияпрямоугольного блока длиной (2l ) на расстоянии ( g-d).

Дальнейшие вариации на эту темубесконечны. Длябольшей точности рекомендуются компьютерные расчеты